O que é geometria?

A Geometria é uma das três grandes áreas da Matemática, ao lado de cálculo e álgebra. A palavra “geometria” tem origem grega e sua tradução literal é: “medir a terra”. Essa informação nos dá pistas de como nasceu e o motivo pelo qual ela se desenvolveu durante os séculos.

A Geometria é o estudo das formas dos objetos presentes na natureza, das posições ocupadas por esses objetos, das relações e das propriedades relativas a essas formas.

Como a geometria é construída?

A geometria é construída sobre objetos primitivos: ponto, reta, plano, espaço, entre outros. Esses objetos não possuem definição, mas possuem características que possibilitam sua identificação.

Fazendo uso desses objetos primitivos é que são definidas as primeiras formas geométricas do plano: segmentos de reta, polígonos e ângulos. A partir delas, é feita a definição de distância entre dois pontos, da qual depende a definição de círculo. Tudo isso serve como base para a construção da geometria espacial.

A geometria também é responsável por propriedades das figuras geométricas. Essas propriedades nada mais são do que resultados de relações analisadas nos objetos e figuras geométricas. Uma propriedade das circunferências, por exemplo, é a seguinte: o resultado da divisão entre o perímetro de um círculo e seu diâmetro sempre será igual a π (aproximadamente 3,14).

Desse modo, a geometria é construída relacionando objetos básicos a fim de obter objetos mais elaborados. Estes são relacionados entre si para chegar a objetos ainda mais elaborados e assim sucessivamente.

Divisões da geometria

Atualmente a geometria é dividida em dois conjuntos: Geometria Euclidiana e Geometrias não Euclidianas.

Geometrias não Euclidianas

Euclides, grande matemático e escritor, viveu provavelmente no século III a.C. e é chamado de pai da geometria. Ele foi o primeiro a reunir toda a geometria em uma única obra, chamada “Os Elementos”. Esse matemático baseou a geometria plana em cinco postulados.

O quinto desses postulados é muito mais sofisticado que os outros quatro. Isso levantou dúvidas entre os matemáticos, desde sua época até meados do século XIX, quando Lobachevsky, um matemático russo, resolveu reconstruir a geometria, mas utilizando a negação do quinto postulado de Euclides.

Esse postulado afirmava: Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela à reta dada. Lobachevsky considerou o contrário: Por um ponto fora de uma reta passa mais de uma reta paralela à reta dada.

Os objetos e figuras geométricas são definidos da mesma forma que na geometria plana, a única diferença é realmente o quinto postulado.

Os resultados obtidos por Lobachevsky são divididos da seguinte forma: aqueles que não dependem do quinto axioma de Euclides são idênticos à geometria tradicional. Já os que dependem são diferentes. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo, nas geometrias construídas a partir de Lobachevsky, não é igual a 180°.

Os estudos de Lobachevsky deram origem à geometria Rhiemanniana e abriram uma porta para a construção de outras geometrias completamente distintas da geometria plana e espacial que conhecemos. O fato mais interessante é que os seus resultados possuem muitas aplicações no dia a dia.

Geometria Euclidiana

É a geometria discutida nos ensinos fundamental e médio e a única geometria conhecida pelo homem até meados do século XIX. A geometria Euclidiana é dividida nas seguintes subáreas:

Geometria Plana: Todas as figuras, formas e definições são feitas para objetos pertencentes ao plano, isto é, que possuem apenas largura e comprimento, mas não possuem profundidade.

Os conceitos discutidos pela geometria plana são de ponto, reta, plano, posições relativas, distância entre dois pontos, ângulos, polígonos, áreas e trigonometria, entre outros.

Geometria Espacial: Os objetos pertencem ao espaço tridimensional, ou seja, agora existe a possibilidade de considerar a sua profundidade.

Os conceitos discutidos na geometria espacial são: todos os da geometria plana, além de planos, poliedros e corpos redondos.

Geometria Analítica: Subárea que relaciona a geometria com a álgebra e utiliza uma para resolver problemas provenientes da outra.

Os conceitos discutidos na geometria analítica são: todos os conceitos e definições da geometria plana e espacial do ponto de vista algébrico, coordenadas, vetores, matrizes, quádricas e sólidos de revolução, entre outros.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática