Potenciação

A potenciação é uma operação matemática. Utilizamos a potenciação para indicar multiplicações consecutivas de um mesmo fator. Por exemplo, 3⁵  representa 5 multiplicações do número 3, o que resulta em 243. Dizemos que 3 é a base, 5 é o expoente e 243 é a potência.

Neste texto descobriremos como calcular qualquer potência e como utilizar as principais propriedades de potenciação para simplificar cálculos. Além disso, conheceremos alguns casos particulares da potenciação, que exigem atenção especial.

Leia também: Radiciação — a operação inversa à potenciação

Tópicos deste artigo

• 1 - Videoaula sobre potenciação
• 2 - Propriedades da potenciação 
  • Multiplicação de potências de mesma base
  • Divisão de potências de mesma base
  • Potência de potência
  • Potência de produto
  • Potência de quociente
• 3 - Como calcular as potências?
• 4 - Casos particulares de potenciação
  • Expoente unitário
  • Expoente zero
  • Expoente negativo
  • Expoente fracionário
• 5 - Como se lê uma potência?
• 6 - Diferenças entre radiciação e potenciação
• 7 - Exercícios resolvidos sobre potenciação

Videoaula sobre potenciação

Propriedades da potenciação 

Vejamos cinco das principais propriedades de potenciação.

• Multiplicação de potências de mesma base

Seja x um número real, assim x^m e xⁿ são duas potências de mesma base. Calcular o produto \(x^m.x^n\) e calcular a potência \(x^{m+n}\) levam ao mesmo resultado, ou seja:

\(x^m.x^n=x^{m+n}\ \) 

Exemplo:

Observe que:

\(2^3=8\)

\(2^4=16 \)

\( 2^3.2^4=8.16=128 \)

Além disso:

\(2^{3+4}=2^7=128\)

Dessa forma, \(2^3.2^4\) e \(2^{3+4} \) resultam em 128.

• Divisão de potências de mesma base

Seja x um número real, assim x^m e xⁿ são duas potências de mesma base. Calcular o quociente \(\frac{x^m}{x^n}\) e calcular a potência x^m-n levam ao mesmo resultado, ou seja:

\(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\)

Exemplo:

Observe que:

\(3^5=243\)

\(3^2=9\)

\(\frac{3^5}{3^2}=\frac{243}{9}=27\)

Além disso:

\(3^{5-2}=3^3=27\)

Dessa forma, \(\frac{3^5}{3^2}\) e \(3^{5-2}\) resultam em 27.

• Potência de potência

Seja x um número real, assim \(x^m\) é uma potência e \(\left(x^m\right)^n\) é uma potência de potência.

Calcular primeiro a potência \(x^m\) e elevar ao expoente n  e calcular a potência xm.n  levam ao mesmo resultado, ou seja:

\(\left(x^m\right)^n=x^{m.n}\)

Exemplo:

Observe que:

\(\left(4^2\right)^3={16}^3=4096\)

Além disso:

\(4^{2.3}=4^6=4096\)

Dessa forma, \(\left(4^2\right)^3\)e \(4^{2.3}\) resultam em 4096.

Cuidado: Existe diferença entre \(\left(x^m\right)^n\) e \(x^{m^n}\). No primeiro caso, a potência \(x^m\) possui n  como expoente. No segundo caso, n é expoente apenas de m . Compare:

\(\left(2^2\right)^3=4^3=64\)

\(2^{2^3}=2^8=256\)

• Potência de produto

Sejam x e y números reais, assim, \(\left(x.y\right)^n\) é a potência de um produto.

Calcular primeiro o produto \(x.y \) e elevar ao expoente n  e calcular o produto entre as potências \(x^n\) e \(y^n\) levam ao mesmo resultado, ou seja:

\(\left(x.y\right)^n=x^n.y^n\)

Exemplo:

Observe que:

\(\left(5.2\right)^3={10}^3=1000\)

Além disso:

\(5^3.2^3=125.8=1000\)

Dessa forma, \(\left(5.2\right)^3\) e \(5^3.2^3\) resultam em 1000.

• Potência de quociente

Sejam x e y números reais, assim \(\left(\frac{x}{y}\right)^n\)é a potência de um quociente.

Calcular primeiro o quociente \(\frac{x}{y}\)e elevar ao expoente n  e calcular o quociente entre as potências \(x^n\) e \(y^n\) levam ao mesmo resultado, ou seja:

\(\left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x^n}{y^n}\)

Exemplo:

Observe que:

\(\left(\frac{6}{3}\right)^4=2^4=16\)

Além disso:

\(\frac{6^4}{3^4}=\frac{1296}{81}=16\)

Dessa forma, \(\left(\frac{6}{3}\right)^4\) e \(\frac{6^4}{3^4} \) resultam em 16.

Leia também: Potências de base — tipo de potência muito comum em cálculos na Física

Como calcular as potências?

Para calcular uma potência, devemos resolver multiplicações sequenciais entre um mesmo fator. Lembre-se que a base indica o número que será multiplicado e o expoente indica quantas vezes devemos multiplicar esse número.

Exemplos:

\((-{4)}^3=\left(-4\right).\left(-4\right).\left(-4\right)=-64\)

\(2^9=2.2.2.2.2.2.2.2.2=512\)

Casos particulares de potenciação

• Expoente unitário

Seja x um número real, então x¹ indica uma multiplicação de x, portanto, uma potência com expoente 1 resulta no valor da base.

Dessa forma:

\(x^1=x\)

Exemplos:

\(\left(-5\right)^1=-5\)

\({23.567}^1=23.567\)

• Expoente zero

Seja x um número real, então:

\(x^0=1\)

Parece estranho ou sem sentido? Vamos analisar um exemplo com x=3 .

Exemplo:

Observe a imagem abaixo, que apresenta diferentes expoentes para a base 3. Pela definição de potenciação (uma multiplicação de fatores iguais), se a cada linha aumentamos 1 no expoente, devemos incluir um fator 3 multiplicando. Portanto, para que o padrão seja mantido, \(3^1\)  deve ser o triplo de \(3^0\), logo, \(3^0=1\).

• Expoente negativo

Seja x um número real, e estendendo a análise do item anterior, podemos concluir que \(x^{-1}\) é o inverso multiplicativo de x , ou seja:

\(x^{-1}=\frac{1}{x}\)

Exemplos:

\(2^{-1}=\frac{1}{2}\)

\({15}^{-1}=\frac{1}{15}\)

• Expoente fracionário

Seja x um número real, então xmn  indica uma raiz de índice n  e radicando xm , ou seja:

\(x^\frac{m}{n}\ =\ \sqrt[n]{x^m}\)

Exemplos:

\(2^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{2^1}\)

\(4^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{4^3}\)

Como se lê uma potência?

Se o expoente for 2, lemos que a base está elevada ao quadrado ou à potência 2 ou à segunda potência.

Se o expoente for 3, lemos que a base está elevada ao cubo ou à potência 3 ou à terceira potência.

Para expoente n qualquer, lemos que a base está elevada à enésima potência.

Exemplos:

• 3²  — três ao quadrado; três elevado ao quadrado; três elevado à segunda potência.
• 5³  — cinco ao cubo; cinco elevado ao cubo; cinco elevado à terceira potência.
• 7⁹  — sete elevado à nona potência.

Diferenças entre radiciação e potenciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Enquanto na potenciação partimos da multiplicação dos fatores para obter a potência, na radiciação partimos da potência (ou seja, do resultado da potenciação) para encontrar os fatores.

Assim, dizer que \(\sqrt[n]{k\ }=x\) significa dizer que \( x^n=k\). Por exemplo, \(\sqrt[3]{8}\ =2\),  pois \(2^3=8.\)

Leia também: Como resolver expressões numéricas

Exercícios resolvidos sobre potenciação

Questão 1

(Enem PPL 2021) A imagem representa uma calculadora científica com duas teclas destacadas. A tecla A eleva ao quadrado o número que está no visor da calculadora, e a tecla B extrai a raiz cúbica do número apresentado no visor:

Uma pessoa digitou o número 8 na calculadora e em seguida apertou três vezes a tecla A e depois uma vez a tecla B.

A expressão que representa corretamente o cálculo efetuado na calculadora é:

a) \( \sqrt[2]{8^{3+3+3}}\)

b) \( \sqrt[3]{8^{2\times2\times2}}\)

c) \( \sqrt[2]{8^3+8^3+8^3}\)

d) \( \sqrt[3]{8^2+8^2+8^2}\)

e) \( \sqrt[3]{8^2\times8^2\times8^2}\)

Resolução:

Apertar três vezes a tecla A significa calcular \(\left(\left(8^2\right)^2\right)^2\). Perceba que essa expressão envolve potência de potência. Assim, aplicando a propriedade:

\(\left(\left(8^2\right)^2\right)^2=8^{2\times2\times2}\)

Apertar uma vez a tecla B significa calcular \(\sqrt[3]{8^{2\times2\times2}}\) .

Alternativa B

Questão 2

(UFRGS) Por qual potência de 10 deve ser multiplicado o número \({10}^{-3}\ \times{10}^{-3}\times{10}^{-3}\times{10}^{-3}\) para que esse produto seja igual a 10?

a) 10⁹

b) 10¹⁰

c) 10¹¹

d) 10¹²

e) 10¹³

Resolução:

Como o produto possui potências de mesma base, podemos aplicar a propriedade:

\({10}^{-3}\times{10}^{-3}\times{10}^{-3}\times{10}^{-3}={10}^{\left(-3\right)+\left(-3\right)+\left(-3\right)+\left(-3\right)}={10}^{-12}\)

Perceba que:

\({10}^{-12}\times{\mathbf{10}}^{\mathbf{13}}={10}^{-12+13}={10}^1=10\)

Alternativa E