Radiciação

Radiciação é a operação matemática inversa à potenciação e utilizada para encontrar um número que, elevado a certo expoente (índice), resulta em outro número. O símbolo da radiciação é o radical (\(\sqrt{}\)), e os principais elementos da operação são o índice, o radicando e a raiz. Quando o índice não é indicado, assume-se que ele é 2.

O cálculo pode ser feito diretamente, por fatoração ou por aproximação, dependendo se o número tem raiz exata. Além disso, a radiciação tem diversas propriedades úteis, como: a raiz de um produto é igual ao produto das raízes; a raiz de um quociente é o quociente das raízes; e a transformação de uma raiz em potência fracionária. Essas propriedades facilitam a resolução de expressões envolvendo radicais e seu relacionamento com potências.

Leia também: Como calcular a raiz quadrada aproximada de um número?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre radiciação
• 2 - Videoaula sobre radiciação
• 3 - O que é radiciação?
• 4 - Símbolo da radiciação
• 5 - Radiciação x potenciação
• 6 - Como calcular radiciação?
• 7 - Propriedades da radiciação
  • A raiz enésima de a elevado a n é igual a a
  • A raiz do produto é igual ao produto das raízes
  • A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes
  • Multiplicação e divisão do índice com o expoente
  • A raiz da raiz
  • Potência de uma raiz
  • Transformação de uma radiciação em uma potenciação
• 8 - Exercícios resolvidos sobre radiciação

Resumo sobre radiciação

• Radiciação é uma operação matemática.
•  A radiciação é a operação inversa da potenciação.
• Busca-se um número que, elevado a um expoente (índice), resulta em outro número.
• Quando a raiz é exata, basta achar o número correspondente.
• Quando a raiz não é exata, utilizamos aproximação
• Podemos utilizar as propriedades da radiciação para facilitar o cálculo de expressões envolvendo radiciação.

Videoaula sobre radiciação

O que é radiciação?

Radiciação é uma operação matemática que consiste em encontrar um número que, quando elevado a uma potência, resulta em outro número. Em outras palavras, a radiciação é o processo inverso da potenciação.

\(\sqrt[n]{a} = b \rightarrow b^n = a \)

n: índice da radiciação

\(\sqrt{}\) : radical

a: radicando

b: raiz

Por exemplo, temos que:

\(\sqrt[2]{25} = 5 \)

Então sabemos que 5 elevado ao quadrado, ou seja 5², é igual a 25.

Outros exemplos:

• \(\sqrt[3]{8} \) = 2 → 2³ = 8
• \(\sqrt[4]{81} \) = 3 → 3⁴ = 81
• \(\sqrt[5]{1024} \) = 4 → 4⁵ = 1024

Observação: Quando não se escreve nenhum número no índice do radical, então esse índice é sempre igual a 2.

Exemplos:

\(\sqrt{9}\) = 3 porque 3² = 9
\(\sqrt{16}\) = 4 porque 4² = 16
\(\sqrt{100}\)=10 porque 10² = 100

Veja também: Quais são os números racionais?

Símbolo da radiciação

O símbolo da radiciação é chamado de radical e é representado por:

\(\sqrt{}\)

Esse símbolo é usado para indicar a extração de raiz de um número.

Radiciação x potenciação

A radiciação e a potenciação são operações opostas. Por isso, entender como se resolve uma potenciação é essencial para calcular uma radiciação. Quando indicamos a raiz de ordem n de um número a, o resultado será um número b. Para que esse b seja realmente a raiz n de a, é necessário que:

\(b^n=a\)

Então temos que:

\(\sqrt[n]{a} = b \)

Como calcular radiciação?

Calcular a raiz de um número é encontrar qual número, multiplicado por ele mesmo n vezes, dá aquele valor. Quando o resultado é exato, basta procurar um número que, elevado ao índice, é igual ao radicando.

Exemplos:

• \(\sqrt{9} \) = 3
• \(\sqrt{36} \) = 6
• \(\sqrt[3]{8} \) = 2 
• \(\sqrt[3]{125} \) = 5

Existem alguns casos em que o número é muito grande e queremos calcular a radiciação, assim, fica mais fácil realizar a fatoração do número antes.

Exemplo:

\(\sqrt[3]{1728} \)

Supondo que não sabemos qual é a raiz cúbica de 1728, então realizaremos a fatoração desse número:

\(1728 = 2^6 \cdot 3^3 \)

Sendo assim, temos que:

\(\sqrt[3]{1728} = \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^3} \)

Reagrupando, sabemos que 2⁶ = 2³ ⋅ 2³.

Então temos que:

\(\sqrt[3]{1728} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \)

Quando o número não tem uma raiz exata, utilizamos uma estimativa para calcular a raiz de forma aproximada.

• Exemplo 1:

Calcularemos \(\sqrt{20}\):

Primeiro vamos procurar entre quais quadrados perfeitos esse número se encontra, para isso, sabemos que 4² = 16 e que 5² = 25, logo, temos que:

\(16<20<25\)

Como consequência temos que:

\(\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25} \)

\(4 < \sqrt{20} < 5\)

Agora que sabemos que a raiz de 20 está entre 4 e 5, para encontrar a primeira casa decimal da aproximação, calcularemos o quadrado dos valores entre 4,1 e 4,9 e encontraremos qual mais se aproxima da raiz quadrada em questão:

4,1² = 16,81
4,2² = 17,64
4,3² = 18,49
4,4² = 19,36
4,5² = 20,25

Então o valor que mais se aproxima da raiz quadrada de 20 é 4,5, logo, por aproximação, temos que:

\(\sqrt{20} \cong 4,5\)

• Exemplo 2:

Calcularemos \(\sqrt[3]{40}\):

Primeiro procuraremos, na lista dos cubos perfeitos, entre quais números 40 está. Sabemos que 3³ = 27 e que 4³ = 64, sendo assim temos que:

\(27<40<64\)

\(\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{40} < \sqrt[3]{64} \)

\(3 < \sqrt[3]{40} < 4\)

Agora, sabendo que a raiz cúbica de 40 está entre 3 e 4, calcularemos os cubos dos números entre 3 e 4 até encontrar o valor que mais se aproxima de 40.

3,1³ = 29,791
3,2³ = 32,768
3,3³ = 35,937
3,4³ = 39,304
3,5³ = 42,875

Note que o valor que mais se aproxima de 40 é 3,4³, então temos que:

\(\sqrt[3]{40} \cong 3,4\)

Observação: Caso seja necessário calcular mais casas decimais, basta repetir o processo. Por exemplo, para saber a segunda casa decimal de \(\sqrt[3]{40}\), sabemos que:

\(3,4 < \sqrt[3]{40} < 3,53,41^3 = 39,652\)

\(3,42^3 = 40,001\)

Então temos que: \(\sqrt[3]{40} \cong 3,42\)

Podemos repetir o processo quantas vezes forem necessárias, ou seja, quantas casas decimais forem necessárias.

Propriedades da radiciação

As propriedades são utilizadas para auxiliar na resolução e na simplificação de problemas envolvendo radiciação. Existem algumas propriedades na radiciação que são importantes dominar.

• A raiz enésima de a elevado a n é igual a a

A raiz enésima de um número a elevado a n (ou seja, o expoente do radicando é igual ao índice da raiz) será o próprio número a.

\(\sqrt[n]{a^n} = a\)

• A raiz do produto é igual ao produto das raízes

Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.

\(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\)

• A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes

Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes:

\(\sqrt[n]{a \div b} = \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} \)

• Multiplicação e divisão do índice com o expoente

Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número:

\(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot b]{a^{m \cdot b}} \)

\(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \div b]{a^{m \div b}} \)

• A raiz da raiz

A raiz de uma raiz é igual à raiz do produto dos índices:

\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a} \)

• Potência de uma raiz

A potência de uma raiz é igual à raiz do radicando elevado a essa potência.

\(\left( \sqrt[n]{a} \right)^b = \sqrt[n]{a^b} \)

• Transformação de uma radiciação em uma potenciação

Dada a radiciação de um número, podemos reescrevê-la como uma potenciação:

\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)

Saiba mais: Quais são as propriedades da potenciação?

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

Heitor comprou uma caixa cúbica para guardar peças de um jogo. A caixa tem 125 cm³ de volume. Qual é o comprimento de cada lado da caixa?

A) 4 cm
B) 5 cm
C) 6 cm
D) 8 cm
E) 10 cm

Resolução:

Alternativa B

Sabemos que:

L³ = 125

Então temos que:

\(L = \sqrt[3]{125} \)

\(L=5\)

Questão 2

Qual é o valor de\(\sqrt{121} \) + \(\sqrt{25} \)?

A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17

Resolução:

Alternativa D

Calculando cada um dos radicais:

\(\sqrt{121} = 11\)

\(\sqrt{25} = 5\)

Logo, temos que:

\(\sqrt{121} + \sqrt{25} = 11 + 5 \)

\(11+5=16\)

Fontes

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações: volume 2. 1. ed. São Paulo: Ática, 2019.

RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática. São Paulo: Scipione, 2013. (9º ano)