Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são conhecidas como diretamente proporcionais quando elas se relacionam de forma proporcional e direta. Isso significa que, em uma situação envolvendo essas grandezas, se uma delas aumentar o seu valor, a outra aumentará também na mesma proporção, ou seja, se uma grandeza dobra o seu valor, a outra também vai dobrar de valor.

No nosso cotidiano, há várias situações em que é possível identificar grandezas que são diretamente proporcionais, como a relação entre o peso de um determinado produto e o valor a ser pago por ele, ou a relação entre o tempo de trabalho e a produção de uma determinada máquina.

O fato de as grandezas serem diretamente proporcionais torna possível prever o comportamento dessas grandezas por meio da relação de proporcionalidade. Além das grandezas diretamente proporcionais, existem também as grandezas inversamente proporcionais, que são aquelas que se relacionam de forma inversa, como a velocidade e o tempo em um determinado percurso.

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Resumo sobre grandezas diretamente proporcionais

• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas aumentam ou diminuem na mesma proporção.

• É possível utilizar essa proporcionalidade para calcular valores desconhecidos.

• Existem várias situações no nosso dia a dia com grandezas diretamente proporcionais, como a relação entre o peso de um determinado produto e o valor a ser pago por ele.

O que são grandezas diretamente proporcionais?

Conhecemos como grandeza tudo aquilo que pode ser medido, como:

• tempo,

• velocidade,

• distância,

• densidade,

• força,

• massa,

• entre outros vários exemplos no nosso dia a dia.

Existem situações do nosso cotidiano em que há mais de uma grandeza relacionada e é bastante comum realizarmos a comparação entre essas grandezas para entender melhor o comportamento delas.

Há casos específicos em que essas grandezas se relacionam de forma diretamente proporcional, o que significa que elas aumentam ou diminuem na mesma proporção. Por exemplo, a quantidade de máquinas e a produção de uma fábrica são grandezas diretamente proporcionais, pois, se dobrarmos a quantidade de máquinas, a produção também dobrará, e se a quantidade de máquinas cair pela metade, a produção também será a metade. Veja outros exemplos:

• Peso e valor pago pela carne

• Distância percorrida por um automóvel e o combustível consumido

• Salário e imposto de renda

• Quantidade de convidados e quantidade de comida

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Como calcular grandezas diretamente proporcionais?

Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, é possível prever o comportamento de uma das grandezas para determinadas situações utilizando a propriedade fundamental das proporções, como faremos no exemplo a seguir.

Exemplo 1:

Em uma fábrica, há 5 máquinas que produzem 4920 peças diárias. Em um determinado dia, 2 máquinas ficaram paradas para manutenção. Sabendo que não há diferença na quantidade de peças produzidas entre as máquinas, o número de peças produzidas nesse dia foi de?

Resolução:

Primeiro é possível perceber que essas grandezas são diretamente proporcionais, pois, se eu diminuir a quantidade de máquinas, a quantidade de peças vai diminuir na mesma proporção, já que cada máquina produz a mesma quantidade de peças diariamente.

Sabendo que 5 máquinas produzem 4920 peças, queremos encontrar quantas peças serão produzidas pelas 3 máquinas restantes durante a manutenção. Como as grandezas são proporcionais, a razão entre 5 e 4920 tem que ser igual à razão entre 3 e x:

Multiplicando cruzado, temos que:

5x = 4920 · 3

5x = 14.760

x = 14.760 : 5

x = 2.952

Isso significa que 3 máquinas produzem um total de 2.952 peças.

Exemplo 2:

Em um açougue, um cliente pede R$ 18,00 de um determinado tipo de carne. Sabendo que 1 kg dessa carne custa R$ 25,00, então a quantidade de carne que esse cliente vai levar é de?

Resolução:

É fácil perceber que se trata de grandezas diretamente proporcionais, pois, se eu dobro a quantidade de carne, o preço será o dobro, ou se eu compro a metade de um quilo, o valor pago será também a metade do valor pago por 1 kg.

Então, podemos montar a proporção, na qual x é o peso de R$ 18,00 desse determinado tipo de carne:

Multiplicando cruzado, temos que:

25x = 18 · 1

25x = 18

x = 18 : 25

x = 0,72

Isso significa que, com R$ 18 reais, o cliente comprará 0,72 kg, que é igual a 720 gramas de carne.

Diferença entre grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais

Além das grandezas diretamente proporcionais, existem grandezas que podem se relacionar de forma inversa. Em uma determinada situação envolvendo duas grandezas, elas são classificadas como inversamente proporcionais quando, à medida que aumentamos o valor de uma dessas grandezas, o valor da outra grandeza diminui na mesma proporção, como a velocidade e o tempo para percorrer um determinado percurso. Se aumentarmos a velocidade, o tempo que será gasto para fazer esse determinado percurso será menor. Para saber mais sobre esse outro tipo de relação entre grandezas, leia o texto: Grandezas inversamente proporcionais.

Videoaula sobre grandezas proporcionais no Enem

Exercícios resolvidos sobre grandezas diretamente proporcionais

Questão 1 - (Enem)

Fontes alternativas

Há um novo impulso para produzir combustível a partir de gordura animal. Em abril, a High Plains Bioenergy inaugurou uma biorrefinaria próxima a uma fábrica de processamento de carne suína em Guymon, Oklahoma. A refinaria converte a gordura do porco, juntamente com o óleo vegetal, em biodiesel. A expectativa da fábrica é transformar 14 milhões de quilogramas de banha em 112 milhões de litros de biodiesel.

Revista Scientific American. Brasil, ago. 2009 (adaptado).

Considere que haja uma proporção direta entre a massa de banha transformada e o volume de biodiesel produzido.

Para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, a massa de banha necessária, em quilogramas, será de, aproximadamente:

A) 6 milhões.

B) 33 milhões.

C) 78 milhões.

D) 146 milhões.

E) 384 milhões.

Resolução

Alternativa A.

Note que 14 milhões de quilogramas de banha são convertidos em 112 milhões de litros de biodiesel. Seja x a quantidade de banha necessária para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, temos que:

Multiplicando cruzado, temos que:

112x = 14 · 48

112x = 672

x=672 : 112

x = 6 milhões

Questão 2 - Em uma empresa distribuidora de mala direta, João, Marcelo e Pedro são responsáveis por ensacar e etiquetar revistas.

Certa vez, receberam um lote de 6120 revistas e, ao terminarem a tarefa, perceberam que o lote de revistas havia sido dividido em partes diretamente proporcionais ao respectivo tempo de trabalho de cada um deles na empresa.

Sabendo que João trabalha há 9 meses na empresa, Marcelo há 12 meses e Pedro há 15 meses, o número de revistas que João ensacou e etiquetou foi:

A) 1 360.

B) 1 530.

C) 1 890.

D) 2 040.

E) 2 550.

Resolução

Alternativa D.

Primeiro realizaremos a soma dos temos: 9 + 12 + 15 = 36. Sabemos que 6120 revistas foram divididas proporcionalmente a 36 meses e que João trabalhou 12 meses. Logo, a razão entre 36 e 6120 é igual à razão entre 12 e a quantidade x de revistas que João ensacou e etiquetou:

Multiplicando cruzado, temos que:

36x = 12 · 6120

36x = 73440

x = 73440 : 36

x = 2040

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática